Les modèles de la Mécanique
La diversité des modèles mécaniques est en contraste flagrant avec la généralité et l'universalité des Lois de la Mécanique qui les sous-tendent et qu'ils vont, chacun à sa manière, et en fonction des applications visées, concrétiser et réaliser.
Démarche générale
A l'exception des trois modèles discrets évoqués ci-dessus, les modèles usuels considèrent la matière comme continue et déformable.
La construction d'un Modèle de Mécanique se fera alors en général en 3 étapes.
- Description du mouvement et des efforts.
C'est là que l'on schématisera la cinématique (position, vitesses,...) et la statique ou sthénique (forces, efforts,...) des systèmes considérés.
C'est cette schématisation parallèle et duale (travail ou puissance des efforts extérieurs) qui constitue l'essence même du modèle. - Théorème des Puissances Virtuelles.
C'est en fait la démonstration de ce théorème qui permetttra de construire la puissance virtuelle des efforts intérieurs et d'en tirer la description, duale là encore, des efforts intérieurs et des déformations. - Lois de Comportement
reliant efforts intérieurs et déformations, permettant ainsi la formulation d'un problème complet bien posé dont on pourrra ensuite chercher (analytiquement ou numériquement, exactement ou de manière approchée) la solution.
C'est ainsi que nous procéderons dans la suite, sans toutefois laisser complètement de côté les approches plus intuitives.
Notons également que dans le cas élastique le principe variationnel hamiltonien (<) - variante du principe de moindre action - fournit une approche souvent plus simple.
Mécanique des Milieux Continus ==>>
La description naturelle du mouvement d'un milieu continu consiste à :
- Caractériser chaque particule par sa position X dans une configuration (réellement atteinte ou non) choisie comme référence. Il est souvent commode de prendre pour X la position à l'instant t = 0, mais cela n'a rien d'essentiel.
- Suivre à chaque instant t la position x de cette particule.
C'est la description « lagrangienne » ou « matérielle » du mouvement.
x = (X,t)
Une description alternative est la description « eulérienne » ou « spatiale » pour laquelle on définit à chaque instant t la vitesse V de la particule qui se trouve au point x
V = V(x,t)
Ces deux descriptions sont mathématiquement équivalentes mais le passage de l'une à l'autre n'est pas trivial.
MMC en Petites Perturbations ==>>
Très souvent en Mécanique des Solides les mouvements seront trop petits pour être réellement perceptibles à vue. Leur observation nécessitera la mise en oeuvre de moyens métrologiques appropriés, mais en contrepartie on pourra identifier x et X et donc oublier la distinction Euler <−> Lagrange et toutes les difficultés qui lui sont associées, notamment pour les dérivations temporelles.
On écrira donc simplement
x = X + u(X,t)
où u(X,t) est le vecteur déplacement fonction du temps t et de la position x qui désigne maintenant indifféremment x ou X.